08. 数据结构与算法入门 | 二分查找

什么是二分查找？

二分查找针对的是一个有序的数据集合，每次通过跟区间中间的元素对比，将待查找的区间缩小为之前的一半，直到找到要查找的元素，或者区间缩小为0。

时间复杂度分析？

1. 时间复杂度

2. 假设数据大小是n，每次查找后数据都会缩小为原来的一半，最坏的情况下，直到查找区间被缩小为空，才停止。所以，每次查找的数据大小是：n，n/2，n/4，…，n/(2^k)，…，这是一个等比数列。当n/(2^k)=1时，k的值就是总共缩小的次数，也是查找的总次数。而每次缩小操作只涉及两个数据的大小比较，所以，经过k次区间缩小操作，时间复杂度就是O(k)。通过n/(2^k)=1，可求得k=log2n，所以时间复杂度是O(logn)。

3. 认识O(logn)

   ① 这是一种极其高效的时间复杂度，有时甚至比O(1)的算法还要高效。为什么？
   ② 因为logn是一个非常“恐怖“的数量级，即便n非常大，对应的logn也很小。比如n等于2的32次方，也就是42亿，而logn才32。
   ③ 由此可见，O(logn)有时就是比O(1000)，O(10000)快很多。

如何实现二分查找？

1. 循环实现

   代码实现：

   public int binarySearch1(int[] a, int val){
     int start = 0;
     int end = a.length - 1;
     while(start <= end){
       int mid = start + (end - start) / 2;
       if(a[mid] > val) end = mid - 1;
       else if(a[mid] < val) start = mid + 1;
       else return mid;
     }
     return -1;
   }

   注意事项：

   ① 循环退出条件是：start<=end，而不是start<end。

   ② mid的取值，使用mid=start + (end - start) / 2，而不用mid=(start + end)/2，因为如果start和end比较大的话，求和可能会发生int类型的值超出最大范围。为了把性能优化到极致，可以将除以2转换成位运算，即start + ((end - start) >> 1)，因为相比除法运算来说，计算机处理位运算要快得多。

   ③ start和end的更新：start = mid - 1，end = mid + 1，若直接写成start = mid，end=mid，就可能会发生死循环。

2. 递归实现

   public int binarySearch(int[] a, int val){
     return bSear(a, val, 0, a.length-1);
   }
   private int bSear(int[] a, int val, int start, int end) {
     if(start > end) return -1;
     int mid = start + (end - start) / 2;
     if(a[mid] == val) return mid;
     else if(a[mid] > val) end = mid - 1;
     else start = mid + 1;
     return bSear(a, val, start, end);
   }

使用条件（应用场景的局限性）

1. 二分查找依赖的是顺序表结构，即数组。
2. 二分查找针对的是有序数据，因此只能用在插入、删除操作不频繁，一次排序多次查找的场景中。
3. 数据量太小不适合二分查找，与直接遍历相比效率提升不明显。但有一个例外，就是数据之间的比较操作非常费时，比如数组中存储的都是长度超过300的字符串，那这是还是尽量减少比较操作使用二分查找吧。
4. 数据量太大也不是适合用二分查找，因为数组需要连续的空间，若数据量太大，往往找不到存储如此大规模数据的连续内存空间。

思考

1. 如何在1000万个整数中快速查找某个整数？

   ①1000万个整数占用存储空间为40MB，占用空间不大，所以可以全部加载到内存中进行处理；

   ②用一个1000万个元素的数组存储，然后使用快排进行升序排序，时间复杂度为O(nlogn)；

   ③在有序数组中使用二分查找算法进行查找，时间复杂度为O(logn)

2. 如何编程实现“求一个数的平方根”？要求精确到小数点后6位？

四种常见的二分查找变形问题

1. 查找第一个值等于给定值的元素
2. 查找最后一个值等于给定值的元素
3. 查找第一个大于等于给定值的元素
4. 查找最后一个小于等于给定值的元素

适用性分析

1. 凡事能用二分查找解决的，绝大部分我们更倾向于用散列表或者二叉查找树，即便二分查找在内存上更节省，但是毕竟内存如此紧缺的情况并不多。
2. 求“值等于给定值”的二分查找确实不怎么用到，二分查找更适合用在”近似“查找问题上。比如上面讲几种变体。

思考

1. 如何快速定位出一个IP地址的归属地？

   [202.102.133.0, 202.102.133.255] 山东东营市
   [202.102.135.0, 202.102.136.255] 山东烟台
   [202.102.156.34, 202.102.157.255] 山东青岛
   [202.102.48.0, 202.102.48.255] 江苏宿迁
   [202.102.49.15, 202.102.51.251] 江苏泰州
   [202.102.56.0, 202.102.56.255] 江苏连云港

   假设我们有 12 万条这样的 IP 区间与归属地的对应关系，如何快速定位出一个IP地址的归属地呢？

2. 如果有一个有序循环数组，比如4，5，6，1，2，3。针对这种情况，如何实现一个求“值等于给定值”的二分查找算法？

   有三种方法查找循环有序数组

   第一种：

   1. 找到分界下标，分成两个有序数组
   2. 判断目标值在哪个有序数据范围内，做二分查找

   第二种：

   1. 找到最大值的下标 x;

   2. 所有元素下标 +x 偏移，超过数组范围值的取模;

   3. 利用偏移后的下标做二分查找；

   4. 如果找到目标下标，再作 -x 偏移，就是目标值实际下标。

      两种情况最高时耗都在查找分界点上，所以时间复杂度是 O(N）。

      复杂度有点高，能否优化呢？

   第三种：

   我们发现循环数组存在一个性质：以数组中间点为分区，会将数组分成一个有序数组和一个循环有序数组。
   如果首元素小于 mid，说明前半部分是有序的，后半部分是循环有序数组；
   如果首元素大于 mid，说明后半部分是有序的，前半部分是循环有序的数组；
   如果目标元素在有序数组范围中，使用二分查找；
   如果目标元素在循环有序数组中，设定数组边界后，使用以上方法继续查找。

   时间复杂度为 O(logN)。

   用JavaScript实现的最基本的思考题：
   array是传入的数组，value是要查找的值
   思路是通过对比low,high的值来判断value所在的区间，不用多循环一遍找偏移量了~

function search(array,value){
  let low = 0;
  let high = array.length - 1;

  while(low <= high){
    let mid = low + ((high - low) >> 1);
    if(value == array[low]) return low;
    if(value == array[high]) return high;
    if(value == array[mid]) return mid;

    if(value > array[mid] && value > array[high] && array[mid] < array[low]){
      high = mid - 1;
    }else if(value < array[mid] && value < array[low] && array[mid] < array[low]){
      high = mid - 1;
    }else if(value < array[mid] && value > array[low]){
      high = mid - 1;
    }else{
      low = mid + 1;
    }
  }
  return -1
}