05. 数据结构与算法入门 | 排序算法(下)

分治思想

归并排序和快速排序都使用了分治思想。

1. 分治思想：分治，顾明思意，就是分而治之，将一个大问题分解成小的子问题来解决，小的子问题解决了，大问题也就解决了。
2. 分治与递归的区别：分治算法一般都用递归来实现的。分治是一种解决问题的处理思想，递归是一种编程技巧。

分治思想也会在以后的文章继续介绍。

归并排序（Merge Sort）

先把数组从中间分成前后两部分，然后对前后两部分分别进行排序，再将排序好的两部分合并到一起，这样整个数组就有序了。这就是归并排序的核心思想。如何用递归实现归并排序呢？写递归代码的技巧就是分写得出递推公式，然后找到终止条件，最后将递推公式翻译成递归代码。递推公式怎么写？如下

递推公式：merge_sort(p…r) = merge(merge_sort(p…q), merge_sort(q+1…r))
终止条件：p >= r 不用再继续分解

图解：

代码实现

// 归并排序算法, A 是数组，n 表示数组大小
merge_sort(A, n) {
  merge_sort_c(A, 0, n-1)
}
// 递归调用函数
merge_sort_c(A, p, r) {
  // 递归终止条件
  if p >= r then return
  // 取 p 到 r 之间的中间位置 q
  q = (p+r) / 2
  // 分治递归
  merge_sort_c(A, p, q)
  merge_sort_c(A, q+1, r)
  // 将 A[p...q] 和 A[q+1...r] 合并为 A[p...r]
  merge(A[p...r], A[p...q], A[q+1...r])
}
merge(A[p...r], A[p...q], A[q+1...r]) {
  var i := p，j := q+1，k := 0 // 初始化变量 i, j, k
  var tmp := new array[0...r-p] // 申请一个大小跟 A[p...r] 一样的临时数组
  while i<=q AND j<=r do {
    if A[i] <= A[j] {
      tmp[k++] = A[i++] // i++ 等于 i:=i+1
    } else {
      tmp[k++] = A[j++]
    }
  }
  // 判断哪个子数组中有剩余的数据
  var start := i，end := q
  if j<=r then start := j, end:=r
  // 将剩余的数据拷贝到临时数组 tmp
  while start <= end do {
    tmp[k++] = A[start++]
  }
  // 将 tmp 中的数组拷贝回 A[p...r]
  for i:=0 to r-p do {
    A[p+i] = tmp[i]
  }
}

注：merge()合并函数如果借助哨兵代码就会简洁很多

性能分析

算法稳定性：

归并排序稳不稳定关键要看合并函数，也就是两个子数组合并成一个有序数组的那部分代码。在合并的过程中，如果 A[p…q] 和 A[q+1…r] 之间有值相同的元素，那我们就可以像伪代码中那样，先把 A[p…q] 中的元素放入tmp数组，这样 就保证了值相同的元素，在合并前后的先后顺序不变。所以，归并排序是一种稳定排序算法。

时间复杂度：分析归并排序的时间复杂度就是分析递归代码的时间复杂度。

如何分析递归代码的时间复杂度？

递归的适用场景是一个问题a可以分解为多个子问题b、c，那求解问题a就可以分解为求解问题b、c。问题b、c解决之后，我们再把b、c的结果合并成a的结果。若定义求解问题a的时间是T(a)，则求解问题b、c的时间分别是T(b)和T(c)，那就可以得到这样的递推公式：T(a) = T(b) + T(c) + K，其中K等于将两个子问题b、c的结果合并成问题a的结果所消耗的时间。这里有一个重要的结论：不仅递归求解的问题可以写成递推公式，递归代码的时间复杂度也可以写成递推公式。套用这个公式，那么归并排序的时间复杂度就可以表示为：

T(1) = C； n=1 时，只需要常量级的执行时间，所以表示为 C。
T(n) = 2*T(n/2) + n； n>1，其中n就是merge()函数合并两个子数组的的时间复杂度O(n)。
T(n) = 2*T(n/2) + n
   = 2*(2*T(n/4) + n/2) + n = 4*T(n/4) + 2*n
   = 4*(2*T(n/8) + n/4) + 2*n = 8*T(n/8) + 3*n
   = 8*(2*T(n/16) + n/8) + 3*n = 16*T(n/16) + 4*n
   ......
   = 2^k * T(n/2^k) + k * n
   ......

当T(n/2^k)=T(1) 时，也就是 n/2^k=1，我们得到k=log2n。将k带入上面的公式就得到T(n)=Cn+nlog2n。如用大O表示法，T(n)就等于O(nlogn)。

所以，归并排序的是复杂度时间复杂度就是O(nlogn)。

空间复杂度：归并排序算法不是原地排序算法，空间复杂度是O(n)

为什么？因为归并排序的合并函数，在合并两个数组为一个有序数组时，需要借助额外的存储空间。为什么空间复杂度是O(n)而不是O(nlogn)呢？如果我们按照分析递归的时间复杂度的方法，通过递推公式来求解，那整个归并过程需要的空间复杂度就是O(nlogn)，但这种分析思路是有问题的！因为，在实际上，递归代码的空间复杂度并不是像时间复杂度那样累加，而是这样的过程，即在每次合并过程中都需要申请额外的内存空间，但是合并完成后，临时开辟的内存空间就被释放掉了，在任意时刻，CPU只会有一个函数在执行，也就只会有一个临时的内存空间在使用。临时空间再大也不会超过n个数据的大小，所以空间复杂度是O(n)。

快速排序（Quicksort）

快排的思想是这样的：如果要排序数组中下标从p到r之间的一组数据，我们选择p到r之间的任意一个数据作为pivot（分区点）。然后遍历p到r之间的数据，将小于pivot的放到左边，将大于pivot的放到右边，将povit放到中间。经过这一步之后，数组p到r之间的数据就分成了3部分，前面p到q-1之间都是小于povit的，中间是povit，后面的q+1到r之间是大于povit的。根据分治、递归的处理思想，我们可以用递归排序下标从p到q-1之间的数据和下标从q+1到r之间的数据，直到区间缩小为1，就说明所有的数据都有序了。

递推公式：quick_sort(p…r) = quick_sort(p…q-1) + quick_sort(q+1, r)
终止条件：p >= r

图解

代码实现

// 快速排序，A 是数组，n 表示数组的大小
quick_sort(A, n) {
  quick_sort_c(A, 0, n-1)
}
// 快速排序递归函数，p,r 为下标
quick_sort_c(A, p, r) {
  if p >= r then return
  q = partition(A, p, r) // 获取分区点
  quick_sort_c(A, p, q-1)
  quick_sort_c(A, q+1, r)
}
//分区函数
partition(A, p, r) {
  pivot := A[r]
  i := p
  for j := p to r-1 do {
    if A[j] < pivot {
      swap A[i] with A[j]
      i := i+1
    }
  }
  swap A[i] with A[r]
  return i
}

分区函数代码说明：通过游标i把A[p…r-1]分成2部分，A[p…i-1]的元素都是小于pivot的，我们暂且叫它“已处理区间”，A[i+1…r-1]是“未处理区间”。我们每次都从未处理区间取出一个元素A[j]，与poivt相比，如果小于pivot，则将其加入到已处理区间的尾部，也就是A[i]位置。

性能分析

算法稳定性：

因为分区过程中涉及交换操作，如果数组中有两个8，其中一个是pivot，经过分区处理后，后面的8就有可能放到了另一个8的前面，先后顺序就颠倒了，所以快速排序是不稳定的排序算法。比如数组[1,2,3,9,8,11,8]，取后面的8作为pivot，那么分区后就会将后面的8与9进行交换。

时间复杂度：最好、最坏、平均情况

快排也是用递归实现的，所以时间复杂度也可以用递推公式表示。
如果每次分区操作都能正好把数组分成大小接近相等的两个小区间，那快排的时间复杂度递推求解公式跟归并的相同。

T(1) = C； n=1 时，只需要常量级的执行时间，所以表示为 C。
T(n) = 2*T(n/2) + n； n>1

所以，快排的时间复杂度也是O(nlogn)。

如果数组中的元素原来已经有序了，比如1，3，5，6，8，若每次选择最后一个元素作为pivot，那每次分区得到的两个区间都是不均等的，需要进行大约n次的分区，才能完成整个快排过程，而每次分区我们平均要扫描大约n/2个元素，这种情况下，快排的时间复杂度就是O(n^2)。

前面两种情况，一个是分区及其均衡，一个是分区极不均衡，它们分别对应了快排的最好情况时间复杂度和最坏情况时间复杂度。那快排的平均时间复杂度是多少呢？T(n)大部分情况下是O(nlogn)，只有在极端情况下才是退化到O(n^2)，而且我们也有很多方法将这个概率降低。

空间复杂度：快排是一种原地排序算法，空间复杂度是O(1)。

归并排序与快速排序的区别

归并和快排用的都是分治思想，递推公式和递归代码也非常相似，那它们的区别在哪里呢？

1. 归并排序，是先递归调用，再进行合并，合并的时候进行数据的交换。所以它是自下而上的排序方式。何为自下而上？就是先解决子问题，再解决父问题。
2. 快速排序，是先分区，在递归调用，分区的时候进行数据的交换。所以它是自上而下的排序方式。何为自上而下？就是先解决父问题，再解决子问题。

思考

如果有多个大日志文件，需要按时间合并为一个文件，但机器内存有限，不足以同时把这些文件读取到内存，可以使用归并排序思想，先构建所有日志的 IO 流，然后没条 IO 流读取一条日志，选取时间戳最小的那个放入新文件，然后该 IO 流读取下一条日志，持续这个操作，直至所有文件读取完毕。